線とは幅のない長さである、というのがユークリッドの定義だったと思う。
が、紙に「線」を引こうとすると幅ができてしまう。
だから、それは線ではない。
では、線を図示できないのか、といえば、できる。
できることに思い至った。
線を引かなくても線が見える。
二つの領域の境界に輪郭線が。
そもそも数学の定義はどこかで無定義術語に行き当たり、それが妥当だと思われるためには人の直感に頼るしかない。
妥当性の根拠は結局生物学的なヒトという共通性である。
ということで、人は「幅のない長さ」をユークリッド以前から知っている。
見たことがある。
それが多分、物の輪郭線なのだ。
輪郭線は、西洋画の伝統では排除される。
見た通りに描く、と言われる意味は、できる限り脳内で処理される前の光の様子を再現する、ということで、輪郭線の抽出は脳内の作業だから描いてはいけないのだろう。
つまり、そこには幅を持って再現される何物も無い。
が、認識の焦点をそこに当てることができるという意味では何かが有る。
それが輪郭線であり、幅の無い長さである。
(この辺りの話は昔読んだ養老孟司の本に影響されているような気がするが、確認するのが面倒なのでしていない。)
ところで、ジョルダンの閉曲線定理という定理がある。
c を平面 R2 上の単純閉曲線(ジョルダン曲線)とする。
このとき、c の像の補集合は二つの互いに素な連結成分から成り、一方の成分は内部と呼ばれる有界領域であり、他方の成分は外部と呼ばれる非有界領域となる。
また、c は両成分の境界を成す。
ジョルダン曲線定理 (フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』)
証明しようとすると大変なことで有名だが、上で見たように線を物の(この場合平面図形の)輪郭線だと思うと自明以外の何者でもなく思える。
何を出発点に何を証明しようとしているのか、というところが問題なんだな。
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